انشعاب هم بعد-? کاسپ-هاپف

برخورد انشعاب هاپف با انشعاب هم بعد‎-?‎ کاسپ، انشعاب هم بعد‎-?‎ با دینامیک کامل تری ایجاد می کند. مطالعه ی جامعی از انشعاب کاسپ-هاپف روی منیفلد مرکزی سه بعدی، بر اساس فرم نرمال قطع شده ارائه می شود. تقارن انتقال-حالت ‎ s1 این فرم نرمال را به سیستم مسطح کاهش می دهد. ‏ تغییر متغیر های بیشتر استفاده می شود تا ضرایب غیر خطی ساده شوند و حالت های تحت برسی کاهش یابند. مجموعه های پایای فرم نرمال دو بعدی شامل نقاط تعادل و مدارهای تناوبی مشخص شده اند. انواع انشعاب ها، نماهای فاز نمایش داده می شود. این انشعاب علاوه بر چهار حالت موجود در انشعاب فولد-هاپف، شامل هم زیستی نقاط تعادل، مدارهای تناوبی، چنبره های پایا، انفجار نوسان ها و انشعاب فولد-هتروکلینیک نیز است. انشعاب فولد-هتروکلینیک در بعد سه موجب انفجار نوسان ها می شود که شبیه سازی عددی پیش بینی وقوع انفجار نوسان های حاصل از تحلیل این انشعاب را تایید می کند. اگر جملات مرتبه ی بالاتر را به سیستم بیافزاییم؛ تقارن سیستم می شکند. بنابراین دینامیک هایی که از لحاظ ساختاری پایدار نیستند؛ رفتار متفاوتی دارند. این نقض تقارن ممکن است سیستم را به دینامیک آشوبی هدایت می کند.